Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm \(A\left( {2\,;\,\,3} \right)\) và đường thẳng \(\left( {{\Delta _m}} \right):\left( {m - 2} \right)x + \left( {m - 1} \right)y + 2m - 1 = 0\) luôn đi qua 1 điểm cố định \(M\left( {1\,;\,\, - 3} \right)\) với \(m\) là tham số thực. Giá trị của \(m\) để khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(\left( {{\Delta _m}} \right)\) lớn nhất là

Ta có \(\left( {{\Delta _m}} \right):\left( {m - 2} \right)x + \left( {m - 1} \right)y + 2m - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow mx - 2x + my - y + 2m - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow m\left( {x + y + 2} \right) + \left( { - 2x - y - 1} \right) = 0\) có vô số nghiệm với \(\forall m\).

Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y + 2 = 0}\\{ - 2x - y - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y =  - 3}\end{array}} \right.} \right.\).

Do đó \(\left( {{\Delta _m}} \right)\) luôn đi qua điểm cố định là \(M\left( {1\,;\,\, - 3} \right)\).

Dựng \(AH \bot {\Delta _m}\), ta có \(AH \le AM\) với mọi \[m.\]

Vậy \[AH\] lớn nhất bằng \[AM\] khi và chỉ khi \(H\) trùng \(M\) hay \(AM \bot {\Delta _m}.\)

Ta có \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - 1\,;\,\, - 6} \right),\,\,{\Delta _m}\) có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1 - m\,;\,\,m - 2} \right).\)

\(AM \bot {\Delta _m} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  \cdot \vec u = 0 \Leftrightarrow  - 1\left( {1 - m} \right) - 6\left( {m - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow m = \frac{5}.\) Chọn D.