Cho hàm số \(y = f\left( x \right){\rm{ }}\left( C \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \({f^3}\left( {1 - x} \right) + f\left( {1 - {x^2}} \right) = x + 1{\rm{ }}\left( {\forall x \in \mathbb{R}} \right)\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục tung có dạng \(y = ax + b\). Giá trị của biểu thức \(T = 5{\rm{a}} + 2b\) bằng

Đáp án C

Ta có: \(\left( C \right) \cap Oy\) tại điểm có hoành độ \(x = 0\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = a\\f'\left( 0 \right) = b\end{array} \right.\), thay \(x = 1\) vào giả thiết ta có: \({f^3}\left( 0 \right) + f\left( 0 \right) = 2 \Leftrightarrow {a^3} + a = 2 \Leftrightarrow a = 1\)

Đạo hàm 2 vế biểu thức \({f^3}\left( {1 - x} \right) + f\left( {1 - {x^2}} \right) = x + 1\) ta được:

\( - 3{f^2}\left( {1 - x} \right)f'\left( {1 - x} \right) - 2{\rm{x}}.f'\left( {1 - {x^2}} \right) = 1\) (*)

Thay \(x = 1\) vào biểu thức (*) ta có: .

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y = - \frac{1}{5}x + 1 \Rightarrow T = 5.\frac{{ - 1}}{5} + 2 = 1\).