Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác đều, \(SA \bot \left( {ABC} \right).\) Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) cách \(A\) một khoảng bằng \(a\) và hợp với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) góc \(30^\circ .\) Thể tích của khối chóp \[S.ABC\] bằng

Gọi \(I\) là trung điểm của BC suy ra góc giữa \(mp\left( {SBC} \right)\) và \(mp\left( {ABC} \right)\) là \[\widehat {SIA} = 30^\circ .\]

\(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên SI suy ra \[d\left( {A,\,\,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = a.\]

Giả sử tam giác đều \[ABC\] có cạnh bằng \[x.\]

Mà \[AI\] là đường cao suy ra \(2a = x\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow x = \frac{{\sqrt 3 }}.\)

Diện tích tam giác đều \[ABC\] là \({S_{ABC}} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}} \right)^2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{3}.\)

Xét tam giác \[SAI\] vuông tại \(A\) suy ra \(SA = AI \cdot \tan 30^\circ  = \frac{{\sqrt 3 }}.\)

Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABC}} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot \frac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }} = \frac{{8{a^3}}}{9}.\) Chọn A.