Tập nghiệm của bất phương trình \(\sqrt {x - 1} + \sqrt {5 - x} + \frac{1} > \frac{1}\) là

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 \ge 0}\\{5 - x \ge 0}\\{x - 3 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \le x \le 5}\\{x \ne 3}\end{array} \Rightarrow D = \left[ {1\,;\,\,5} \right]\backslash \left\{ 3 \right\}} \right.} \right..\)

Bất phương trình trở thành: \(\sqrt {x - 1}  + \sqrt {5 - x}  > 0\)

Mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {x - 1}  \ge 0}\\{\sqrt {5 - x}  \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \sqrt {x - 1}  + \sqrt {5 - x}  \ge 0} \right.\) với mọi \(x \in \left[ {1\,;\,\,5} \right]\).

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {x - 1}  = 0}\\{\sqrt {5 - x}  = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = 5}\end{array} \Rightarrow } \right.} \right.\) Vô lý.

\( \Rightarrow \sqrt {x - 1}  + \sqrt {5 - x}  > 0\) với mọi \(x \in \left[ {1\,;\,\,5} \right]\)

\( \Rightarrow \) Bất phương trình ban đầu luôn đúng \(\forall x \in D.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ {1\,;\,\,5} \right]\backslash \left\{ 3 \right\}.\) Chọn D.