Cho lăng trụ tứ giác đều \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AA' = 1\), \(\tan \left( {\widehat {\left( {A'BD} \right),\,\,\left( {ABB'A'} \right)}} \right) = 2.\) Thể tích của khối lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) là

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) và \(\left( {ABB'A'} \right).\)

Gọi \(I\) là hình chiếu của \(D\) lên \(A'B\,,\,\,O\) là tâm của hình vuông \(ABCD.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}DA \bot \left( {ABB'A'} \right)\\\left( {ABB'A'} \right) \cap \left( {A'BD} \right) = A'B\end{array} \right. \Rightarrow \alpha  = \widehat {DIA}.\)

Ta có \(\tan \alpha  = 2 \Rightarrow \sin \alpha  = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow \frac = \frac{2}{{\sqrt 5 }}.\)

Giả sử cạnh đáy của lăng trụ là \[x.\]

Ta có \(A'D = A'B = \sqrt {{x^2} + 1} \,,\,\,BD = x\sqrt 2 ,\,\,A'O = \frac{{\sqrt {{x^2} + 2} }}{2}.\)

Diện tích tam giác \(A'BD\) là \({S_{A'BD}} = \frac{1}{2} \cdot A'O \cdot BD = \frac{1}{2}DI \cdot A'B \Rightarrow A'O \cdot BD = DI \cdot A'B\)

\( \Rightarrow DI = \frac{{A'O \cdot BD}}{{A'B}} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 2}  \cdot x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)\( \Rightarrow x:\frac{{\sqrt {{x^2} + 2}  \cdot x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 2}} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow x = \sqrt 3 \)\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = 3\).

Vậy thể tích khối lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) là \(V = {S_{ABCD}} \cdot AA' = 3 \cdot 1 = 3.\) Chọn B.