Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\] cho điểm \(A\left( {1\,;\,\,1\,;\,\,1} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{1} = \frac{y}{2} = \frac{1}.\) Đường thẳng qua \(A\), cắt trục \[Oy\] và vuông góc với \(d\) có phương trình là

Gọi \(M\left( {0\,;\,\,y\,;\,\,0} \right) \in Oy:\overrightarrow {AM}  = \left( { - 1\,;\,\,y - 1\,;\,\, - 1} \right)\).

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow   = \left( {1\,;\,\,2\,;\,\,1} \right)\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\) cắt trục \[Oy\] tại \(M\).

Do \(\Delta  \bot d\) nên \(\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow   = 0 \Leftrightarrow  - 1 + 2\left( {y - 1} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow y = 2\).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {1\,;\,\,1\,;\,\,1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {1\,;\,\, - 1\,;\,\,1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\).

Mà điểm \(N\left( { - 1\,;\,\,3\,;\,\, - 1} \right) \in \Delta \) nên đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + t}\\{y = 3 - t}\\{z =  - 1 + t}\end{array}} \right.\).

Chọn C