Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục và có đạo hàm trên \[\mathbb{R}\] thỏa mãn \[f\left( 2 \right) = - 2;\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 1\]. Tính tích phân \[I = \int\limits_{ - 1}^3 {f'\left( {\sqrt {x + 1} } \right)dx} \].

Đáp án D

Đặt \[\sqrt {x + 1} = t \Rightarrow x + 1 = {t^2} \Rightarrow dx = 2tdt\].

Đổi cận \[x = - 1 \Rightarrow t = 0;x = 3 \Rightarrow t = 2\].

\[ \Rightarrow I = \int\limits_0^2 {f'\left( t \right)2tdt} = \int\limits_0^2 {2xf'\left( x \right)dx} \].

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = 2x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\].

\[ \Rightarrow I = 2x.f'\left( x \right)\left| \begin{array}{l}^2\\_0\end{array} \right. - \int\limits_0^2 {2.f\left( x \right)dx}  = 4.\left( { - 2} \right) - 2.1 = - 10\].