Cho hàm số , với \(m\) là tham số. Gọi \({m_1},\,\,{m_2}\,\,\left( {{m_1} < {m_2}} \right)\) là các giá trị của tham số \(m\) thỏa mãn \(2{\max _{\left[ {0\,;\,\,2} \right]}}f\left( x \right) - {\min _{\left[ {0\,;\,\,2} \right]}}f\left( x \right) = 8.\) Tổng \(2{m_1} + 3{m_2}\) bằng

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\,,\,\,\forall x \in \left[ {0\,;\,\,2} \right]\)

\( \Rightarrow {\min _{\left[ {0\,;\,\,2} \right]}}f\left( x \right) = f\left( 0 \right) =  - {m^2}\,;\,\,{\max _{\left[ {0\,;\,\,2} \right]}}f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = \frac}{3}.\)

Do đó \[2{\max _{\left[ {0\,;\,\,2} \right]}}f\left( x \right) - {\min _{\left[ {0\,;\,\,2} \right]}}f\left( x \right) = 8 \Leftrightarrow 2\left( {\frac}{3}} \right) + {m^2} = 8\]

\( \Leftrightarrow {m^2} - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m =  - 4}\\{m = 4}\end{array}} \right.\).

Vậy \(2{m_1} + 3{m_2} = 2 \cdot \left( { - 4} \right) + 3 \cdot 4 = 4.\) Chọn C.