Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong [−2020;2020] để phương trình log(mx)=2log(x+1) có nghiệm duy nhất?

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Đưa về cùng cơ số 10.

- Giải phương trình logarit: logaf(x)=logag(x)⇔f(x)=g(x)>0.

- Cô lập m, đưa phương trình về dạng m=f(x).

- Lập BBT của hàm số f(x), từ BBT tìm điều kiện của m để phương trình vô nghiệm.

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{mx >0}\\{x + 1 >0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{mx >0}\\{x >- 1}\end{array}} \right.\].

Ta có: log(mx)=2log(x+1)⇔log(mx)=log(x+1)2⇔mx=(x+1)2(*).

Do x>−1⇔x+1>0⇒(x+1)2>0⇒mx>0. Do đó x≠0.

Khi đó ta có (*)⇔m=(x+1)2x=f(x), với x>−1;x≠0.

Ta có:

f'(x)=2(x+1).x−(x+1)2x2

f'(x)=2x2+2x−x2−2x−1x2

f'(x)=x2−1x2=0⇔[x=1x=−1

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương (*) có nghiệm duy nhất [m<0m=4.

Kết hợp điều kiện \[m \in \mathbb{Z},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} m \in \left[ { - 2020;2020} \right]\] ta có m∈ℤ,m∈[−2020;2020].

Vậy có 2021 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án D.