Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho hai điểm \(A\left( {0\,;\,\,2\,;\,\, - 2} \right),\,\,B\left( {2\,;\,\,2\,;\,\, - 4} \right).\) Giả sử \[I\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right)\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[OAB.\] Tính \(T = {a^2} + {b^2} + {c^2}\).

Ta có \(\overrightarrow {OA}  = \left( {0\,;\,\,2\,;\,\, - 2} \right),\,\,\overrightarrow {OB}  = \left( {2\,;\,\,2\,;\,\, - 4} \right) \Rightarrow \left( {OAB} \right)\) có phương trình: \(x + y + z = 0\)

\(I \in \left( {OAB} \right) \Rightarrow a + b + c = 0.\)

\(\overrightarrow {AI}  = \left( {a\,;\,\,b - 2\,;\,\,c + 2} \right),\,\,\overrightarrow {BI}  = \left( {a - 2\,;\,\,b - 2\,;\,\,c + 4} \right),\,\,\overrightarrow {OI}  = \left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right).\)

Ta có hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AI = BI}\\{AI = OI}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} + {{\left( {c + 2} \right)}^2} = {{\left( {a - 2} \right)}^2} + {{\left( {c + 4} \right)}^2}}\\{{{\left( {b - 2} \right)}^2} + {{\left( {c + 2} \right)}^2} = {b^2} + {c^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a - c = 4}\\{ - b + c =  - 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Ta có hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a - c = 4}\\{ - b + c =  - 2}\\{a + b + c = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a - c = 4}\\{ - b + c =  - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = 0}\\{c =  - 2}\end{array}} \right.} \right.} \right..\)

Do đó \(I\left( {2\,;\,\,0\,;\,\, - 2} \right) \Rightarrow T = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 8.\) Chọn A.