Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy là \(a\) và khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) bằng \(\frac{a}{2}.\) Thể tích khối lăng trụ bằng

Gọi \(I\) là trung điểm của BC và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(A'I.\)

Khi đó, ta có: \(d\left( {A,\,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = AH = \frac{a}{2}{\rm{. }}\)

Trong tam giác vuông \(AA'I\) ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{{A'}^2}}} + \frac{1}{{A{I^2}}}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{A{{A'}^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} - \frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}\)\( = \frac{4}{{{a^2}}} - \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{8}{{3{a^2}}}.\)

Suy ra: \(AA' = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}.\)

Thể tích khối lăng trụ là: \(V = {S_{ABC}} \cdot AA' = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot \frac{{a\sqrt 6 }}{4} = \frac{{3{a^2}\sqrt 2 }}.\) Chọn C.