Đường thẳng \(a\) đi qua \(M\left( {4\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right)\), song song với mặt phẳng \((\alpha ):3x - 4y + z - 12 = 0\) và cách \(A\left( { - 2\,;\,\,5\,;\,\,0} \right)\) một khoảng lớn nhất. Khi đó, phương trình đường thẳng là

Ta có \(\overrightarrow {AM}  = \left( {6\,;\,\, - 7\,;\,\,1} \right)\), vectơ pháp tuyến của \((\alpha )\) là \(\vec n = \left( {3\,;\,\, - 4\,;\,\,1} \right).\)

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên a.

\(d\left( {A\,;\,\,a} \right) = AH \le AM = \sqrt {86}  \Rightarrow d\left( {A\,;\,\,a} \right)\) lớn nhất khi \(H \equiv M.\)

Khi đó \(a\) là đường thẳng đi qua \(M\), song song với \((\alpha )\) và vuông góc với AM.

Gọi \(\vec u\) là vectơ chỉ phương của \[a\] nên \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\vec u \bot \vec n}\\{\vec u \bot \overrightarrow {AM} }\end{array}\,;\,\,\left[ {\overrightarrow {AM} \,,\,\,\vec n} \right] = \left( { - 3\,;\,\, - 3\,;\,\, - 3} \right) =  - 3\left( {1\,;\,\,1\,;\,\,1} \right)} \right..\]

Chọn \(\vec u = \left( {1\,;\,\,1\,;\,\,1} \right).\) Chọn D.