Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 1}&{{\rm{ khi }}x > 2}\\{ax - 2a + b}&{{\rm{ khi }}x \le 2}\end{array}} \right..\) Biết \[\int\limits_0^2 {f\left( {{x^2} + 1} \right)x} \,dx = 5.\] Giá trị của biểu thức \(T = 2a - {b^2} + 1\) bằng

Hàm số liên tục tại \(x = 2 \Rightarrow 3 \cdot 2 + 1 = 2a - 2a + b \Leftrightarrow b = 7\).

Đặt \(t = {x^2} + 1 \Rightarrow {\rm{d}}t = 2x\;{\rm{d}}x\).

Đổi cận \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \Rightarrow t = 1}\\{x = 2 \Rightarrow t = 5}\end{array}} \right.\).

Suy ra \(\frac{1}{2}\int\limits_1^5 {f\left( t \right)} \,{\rm{d}}t = 5 \Leftrightarrow \int\limits_1^5 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 10\)\( \Leftrightarrow \int\limits_1^2 {\left( {ax - 2a + 7} \right)} \,{\rm{d}}x + \int\limits_2^5 {\left( {3x + 1} \right)} \,{\rm{d}}x = 10\)

\( \Leftrightarrow a\frac{{{x^2}}}{2} - 2ax + \left. {7x} \right|_1^2 =  - \frac{2} \Leftrightarrow  - \frac{1}{2}a + 7 =  - \frac{2} \Leftrightarrow a = 63\).

Vậy \(T = 2 \cdot 63 - {7^2} + 1 = 78.\) Chọn C.