Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên (SAB) là đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng 37a7. Thể tích khối chóp S.ABCD là

Phương pháp:

- Gọi M là trung điểm của AB sử dụng định lí P⊥Q=da⊂P,a⊥d⇒a⊥Q chứng minh SM⊥ABCD.

- Đổi dA;SCD sang dM;SCD.

- Đặt độ dài cạnh đáy bằng x tính dM;SCD theo x, từ đó tìm x theo a

- Tính thể tích khối chóp SABCD=13SM.SABCD.

Cách giải:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Vì ΔSAB đều nên SM⊥AB.

Ta có SAB⊥ABCD=ABSM⊂SAB,SM⊥AB⇒SM⊥ABCD.

Vì AM//CD⇒AM//SCD⇒dA;SCD=dM;SCD.

Trong (SMN) kẻ MK⊥SN ta có:

CD⊥MNCD⊥SM⇒CD⊥SMN⇒CD⊥MK,MK⊥SNMK⊥CD⇒MK⊥SCD

⇒dM;SCD=MK=37a7.

Đặt AB=x⇒MN=AD=x,SM=AB32=x32.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SMN ta có:

1MK2=1SM2+1MH2⇒13a772=1x2+1x322⇔79a2=73x2⇔x=a3.

Vậy thể tích hình chóp S.ABCD là V=13SM.SABCD=13.a3.32.a32=3a33.

Chọn B.