Cho hai số thực x;y thỏa mãn 2y3+7y+2x1−x=31−x+3(2y2+1).Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=x+2y.

Điều kiện: \(x \le 1.\)

Ta có: 2y3+7y+2x1−x=31−x+3(2y2+1)

\( \Leftrightarrow 2{\left( {y - 1} \right)^3} + y - 1 = 2{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)^3} + \sqrt {1 - x} {\rm{ }}\left( * \right)\)

Xét hàm số f(t)=2t3+t,ta có: f'(t)=6t2+1>0 ∀t∈ℝ, suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến.

(*)⇔f(y−1)=f(1−x)⇔y−1=1−x⇔{y≥1x=1−(y−1)2

Khi đó P=x+2y=1−(y−1)2+2y=4−(y−2)2≤4.

Vậy Pmax=4⇔{x=0y=2.

Đáp án B