Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + \left( {{m^2} - 4} \right)x + 1\]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mm để hàm số \[y = f(|x|)\;\] có đúng 3 điểm cực trị?

Bước 1:

Số điểm cực trị của hàm số\[y = f\left( {\left| x \right|} \right)\] là \[2m + 1\] trong đó m là số điềm cực trị dương của hàm số\[y = f\left( x \right)\]

Do đó để hàm số\[y = f\left( {\left| x \right|} \right)\]  có đúng 3 điểm cực trị thì m=1⇒ hàm số\[y = f\left( x \right)\] phải có 1 điểm cực trị dương (*).

Bước 2:

Ta có:\[f'\left( x \right) = {x^2} + 2mx + {m^2} - 4\]

Xét\[f'\left( x \right) = 0\] có\[{\rm{\Delta '}} = {m^2} - {m^2} + 4 > 0\,\,\forall m\]  nên\[f'\left( x \right) = 0\] có 2 nghiệm phân biệt

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = - m + 2}\\{{x_2} = - m - 2}\end{array}} \right.\)

Bước 3:

\[\left( * \right) \Rightarrow - m - 2 \le 0 < - m + 2 \Leftrightarrow - 2 \le m < 2\]

Mà \[m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1} \right\}\]

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C