Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và f(1) = 1. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình bên. Có bao nhiêu số nguyên dương a để hàm số y=|4f(sinx)+cos2x−a| nghịch biến trên 0;π2?

y=4f(sinx)+cos2x−a=4f(sinx)−2sin2x+1−a.

Đặt t=sinx,t∈(0;1) do x∈0;π2

Bài toán trở thành: Có bao nhiêu sớ nguyên dương a để hàm số y=4f(t)−2t2+1−a nghịch biến trên khoảng (0;1).

Ta có: y'=4f'(t)−4t4f(t)−2t2+1−a4f(t)−2t2+1−a≤0,∀t∈(0;1)(*).

Với t∈(0;1) thì đồ thị hàm số y=f'(t) nằm phía dưới trục Ox

⇒f'(t)<0,∀t∈(0;1)⇒f'(t)−t<0,∀t∈(0;1). 

Khi đó: (*)⇔4f(t)−2t2+1−a≥0,∀t∈(0;1)⇔a≤4f(t)−2t2+1,∀t∈(0;1).

Xét hàm số g(t)=4f(t)−2t2+1 trên (0;1).

Ta có g'(t)=4f'(t)−4t<0⇒g(t)>g(1)=4f(1)−2.1+1=3,∀t∈(0;1).