Cho hàm số f(x) có đạo hàm không âm và đồng biến trên [1;4], thỏa mãn x+2xf(x)=f'(x)2 với mọi x∈[1;4]. Biết rằng f(1)=32, tính tích phân I=∫14f(x)dx.

Chọn D.

Từ giả thiết suy ra f'(x)≥0,∀x∈[1;4] và f(x)≥f(1)>0,∀x∈[1;4].

Ta có x+2xf(x)=f'(x)2⇔x[1+2f(x)]=f'(x)2⇔f'(x)1+2f(x)=x.

Suy ra: ∫f'(x)1+2f(x)dx=∫xdx⇔1+2f(x)=23xx+C.V1f(1)=32⇒2=23+C⇔C=43.

Do đó f(x)=1223xx+432−1. Vậy I=∫14f(x)dx=∫141223xx+432−1dx=118645.