Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau Bất phương trình \[\left( {{x^2} + 1} \right)f\left( x \right) \ge m\] có nghiệm trên khoảng \[\left( { - 1;2} \right)\] khi và chỉ khi

Đáp án D

Đặt \(\left( {{x^2} + 1} \right)f\left( x \right) = g\left( x \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = 2{\rm{x}}.f\left( x \right) + \left( {{x^2} + 1} \right)f'\left( x \right)\)

Xét \(x \in \left( { - 1;2} \right)\) ta có \(x > 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) > 0\\xf\left( x \right) > 0\end{array} \right. \Rightarrow g'\left( x \right) > 0\) và với \(x < 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) < 0\\xf\left( x \right) < 0\end{array} \right. \Rightarrow g'\left( x \right) < 0\).

+ Từ đó ta có bảng biến thiên

+ Theo BBT thì để bất phương trình \(\left( {{x^2} + 1} \right)f\left( x \right) \ge m\) có nghiệm trên khoảng \(\left( { - 1;2} \right)\) khi và chỉ khi \(m < 15\).