Cho hai hàm số \[f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 5\] và \[g\left( x \right) = d{x^2} + ex + 3\;\left( {a,b,c,d,e \in \mathbb{R}} \right).\] Biết rằng đồ thị của hàm số \[y = f\left( x \right)\] và \[y = g\left( x \right)\] cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là \[ - 2,\;1,\;4\] (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

Đáp án D

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai hàm số là:

\(a{x^3} + b{x^2} + cx + 5 = d{x^2} + ex + 3 \Leftrightarrow a{x^3} + \left( {b - d} \right){x^2} + \left( {c - e} \right)x + 2 = 0\)

Vì phương trình có các nghiệm \( - 2\), 1, 4 nên: \(a{x^3} + \left( {b - d} \right){x^2} + \left( {c - e} \right)x + 2 = a\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)\)

Đồng nhất hệ số ta được: \(2 = a.2\left( { - 1} \right).\left( { - 4} \right) \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}\)

Suy ra diện tích hình phẳng cần tìm: \(S = \frac{1}{4}\int\limits_{ - 2}^4 {\left| {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)} \right|d{\rm{x}}} = \frac{8}\).