Cho tứ diện \[ABCD\] và ba điểm \[P,\,\,Q,\,\,R\] lần lượt lấy trên ba cạnh \[AB,\,\,CD,\,\,BC.\] Cho \({\rm{PR}}\,{\rm{//}}\,{\rm{AC}}\) và \({\rm{CQ}} = 2{\rm{QD}}\). Gọi giao điểm của \({\rm{AD}}\) và \(\left( {{\rm{PQR}}} \right)\) là \({\rm{S}}\). Chọn khẳng định đúng.

Gọi \[I\] là giao điểm của \[BD\] và \[RQ.\] Nối \(P\) với \(I,\) cắt \[AD\] tại \(S.\)

Ta có \(\frac{{{\rm{DI}}}}{{{\rm{IB}}}} \cdot \frac{{{\rm{BR}}}}{{{\rm{RC}}}} \cdot \frac{{{\rm{CQ}}}}{{{\rm{QD}}}} = 1\) mà \(\frac{{{\rm{CQ}}}}{{{\rm{QD}}}} = 2\)

sSy ra \(\frac{{{\rm{DI}}}}{{{\rm{IB}}}} \cdot \frac{{{\rm{BR}}}}{{{\rm{RC}}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{{\rm{DI}}}}{{{\rm{IB}}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{\rm{RC}}}}{{{\rm{BR}}}}\).

Vì \({\rm{PR}}\,{\rm{//}}\,{\rm{AC}}\) nên  \(\frac{{{\rm{RC}}}}{{{\rm{BR}}}} = \frac{{{\rm{AP}}}}{{{\rm{PB}}}} \Rightarrow \frac{{{\rm{DI}}}}{{{\rm{IB}}}} = \frac{1}{2}.\frac{{{\rm{AP}}}}{{{\rm{PB}}}}\).

Lại có \(\frac{{{\rm{SA}}}}{{{\rm{SD}}}}.\frac{{{\rm{DI}}}}{{{\rm{IB}}}}.\frac{{{\rm{BP}}}}{{{\rm{PA}}}} = 1 \Rightarrow \frac{{{\rm{SA}}}}{{{\rm{SD}}}}.\frac{1}{2}.\frac{{{\rm{AP}}}}{{{\rm{PB}}}}.\frac{{{\rm{BP}}}}{{{\rm{PA}}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{\rm{SA}}}}{{{\rm{SD}}}} = 2 \to {\rm{AD}} = 3{\rm{DS}}\). Chọn A.