Cho hàm số \({\rm{f}}\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên. Hàm số \({\rm{y}} = {\rm{f}}\left( {{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}}} \right) - {{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}}\) có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( { - 5\,;\,\,1} \right)\)?

Ta có \(y' = \left( {2x + 4} \right)f'\left( {{x^2} + 4x} \right) - 2x - 4 = \left( {2x + 4} \right)\left[ {f'\left( {{x^2} + 4x} \right) - 1} \right]\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 4 = 0}\\{f'\left( {{x^2} + 4x} \right) - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2\,\,\,\,\,(1)}\\{f'\left( {{x^2} + 4x} \right) - 1 = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

Từ đồ thị hàm số \(f'\left( {\rm{x}} \right)\) ta có

\(f'\left( {{x^2} + 4x} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow f'\left( {{x^2} + 4x} \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 4x =  - 4}\\{{x^2} + 4x = 0}\\{{x^2} + 4x = a \in \left( {1\,;\,\,5} \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2 \in \left( { - 5\,;\,\,1} \right)}\\{x = 0 \in \left( { - 5\,;\,\,1} \right)}\\{x =  - 4 \in \left( { - 5\,;\,\,1} \right)}\\{x =  - 2 - \sqrt {4 + a}  \in \left( { - 5\,;\,\,1} \right)}\\{x =  - 2 + \sqrt {4 + a}  \in \left( { - 5\,;\,\,1} \right)}\end{array}} \right.} \right.\,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(y' = 0\) có 5 nghiệm đều là nghiệm bội lẻ nên đạo hàm đổi dấu khi qua các nghiệm, do đó đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị. Chọn A.