Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, cho 4 điểm A(1;5;4), B(-3;1;4), C(5;4;1), D(-2;1;-3). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng

Phương pháp giải:

Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB, BC, CD.

Bước 2: Khi đó giao điểm I của 3 mặt phẳng là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, tìm bán kính IA.

Giải chi tiết:

Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB, BC, CD.

Ta có: AB→=(−4;−4;0);BC→=(8;3;−3);CD→=(−7;−3;−4)

Trung điểm của AB là: M(−1;3;4)

Trung điểm của BC là: N1;52;52

Trung điểm của AB là: P32;52;−1

Phương trình mặt phẳng trung trực của AB:(x+1)+(y−3)=0⇔x+y−2=0

Phương trình mặt phẳng trung trực của BC:8(x−1)+3y−52−3z−52=0 ⇔8x+3y−3z−8=0

Phương trình mặt phẳng trung trực của CD: 7x−32+3y−52+4(z+1)=0 ⇔7x+3y+4z−14=0

Bước 2: Khi đó giao điểm I của 3 mặt phẳng là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A B C D$, tìm bán kính IA.

Gọi I là giao điểm của 3 mặt phẳng trung trực vừa tìm được

Khi đó ta có tọa độ của I thỏa mãn hệ x+y−2=08x+3y−3z−8=07x+3y+4z−14=0⇔x=1y=1z=1 ⇒I(1;1;1)⇒IA=02+42+32=5

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng 5.