Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC có \[AB = BC\sqrt 5 ,\;AC = 2BC\sqrt 2 \], hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm O của cạnh AC. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2. Mặt phẳng (SBC) hợp với mặt phẳng (ABC) một góc α thay đổi. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.ABC bằng \(\frac{{\sqrt a }}{b}\), trong đó \[a,b \in {\mathbb{N}^*},\;\]a là số nguyên tố. Tổng a+b bằng:

Gọi H là hình chiếu của O lên SB.

Ta có:\[OB = \sqrt {\frac{{2B{C^2} + 2B{A^2} - A{C^2}}}{4}} = BC,OC = \frac{1}{2}AC = BC\sqrt 2 \]

Suy ra\[OB \bot BC\]

Dễ thấy\[\angle SBO = \alpha \]và\[OH = d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 1\]

Suy ra\[SO = \frac{{\cos \alpha }} = \frac{1}{{\cos \alpha }},OB = \frac{{\sin \alpha }} = \frac{1}{{\sin \alpha }}\]

\[ \Rightarrow BC = OB = \frac{1}{{\sin \alpha }}\]

Thể tích khối chóp S.ABC là:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}SO.2{S_{OBC}}}\\{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{3}.\frac{1}{{\cos \alpha }}.{{\left( {\frac{1}{{\sin \alpha }}} \right)}^2} = \frac{1}{{3\cos \alpha .{{\sin }^2}\alpha }}}\end{array}\]

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{1 = \frac{1}{2}{{\sin }^2}\alpha + \frac{1}{2}{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha \ge 3.\sqrt[3]{{\frac{1}{4}{{\sin }^4}\alpha .{{\cos }^2}\alpha }}}\\{ \Leftrightarrow \frac{1} \ge \frac{1}{4}.si{n^4}\alpha .co{s^2}\alpha \Rightarrow \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{2}}\\{ \Rightarrow {V_{S.ABC}} \ge \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\end{array}\]

Vậy\[\min {V_{S.ABC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].Dấu “=” xảy ra\[ \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{2}{\sin ^2}\alpha = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\]

\[ \Rightarrow a = 3,\,\,b = 2\]

Vậy\[a + b = 3 + 2 = 5\]

Đáp án cần chọn là: B