Cho hình chóp đều nn cạnh (n ≥ 3)). Cho biết bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là R và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60⁰ , thể tích khối chóp bằng \(\frac{{3\sqrt 3 }}{4}{R^3}\). Tìm n?

Giả sử đáy là đa giác đều A1A2...An. O là tâm đáy, chóp có chiều cao là SH . Gọi I là trung điểm của A1A2

Ta có : \[I{A_1} = R.\sin \frac{\pi }{n};OI = R.\cos \frac{\pi }{n}\]

\[SO = OI.\tan {60^0} = R.\cos \frac{\pi }{n}.\sqrt 3 = R\sqrt 3 .\cos \frac{\pi }{n}\]

Diện tích đáy : \[S = \frac = \frac{{3.\frac{{3\sqrt 3 }}{4}.{R^3}}}{{R\sqrt 3 .cos\frac{\pi }{n}}} = \frac{{9{R^2}}}{{4\cos \frac{\pi }{n}}}\]

Mà \[S = n.\frac{1}{2}{R^2}.\sin \frac{{2\pi }}{n} \Rightarrow \frac{{9{R^2}}}{{4\cos \frac{\pi }{n}}} = n.\frac{1}{2}.{R^2}.\sin \frac{{2\pi }}{n}\]

\[ \Leftrightarrow n\sin \frac{{2\pi }}{n}\cos \frac{\pi }{n} = \frac{9}{2}\]

Thử các giá trị của nn ở các đáp án ta được n = 6.

Đáp án cần chọn là: D