Xét tính tăng hay giảm và bị chặn của dãy số: \({u_n} = \frac,\,n \in {\mathbb{N}^*}\).

Lời giải

Đáp án đúng là: C

⦁ Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}} - \frac = \frac - \frac\)

\( = \frac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 3} \right) - \left( {2n - 1} \right)\left( {n + 4} \right)}}{{\left( {n + 4} \right)\left( {n + 3} \right)}} = \frac{7}{{{n^2} + 7n + 12}}\)

\( = \frac{7}{{{{\left( {n + \frac{7}{2}} \right)}^2} - \frac{1}{4}}} > 0,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy dãy (u_n) là dãy số tăng.

⦁ Ta có \({u_n} = \frac = \frac{{2\left( {n + 3} \right) - 7}} = 2 - \frac{7}\).

Do n ∈ ℕ^* nên \(\frac{1} \le \frac{1}{4}\).

Suy ra \(2 - \frac{7} \ge 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}\).

Vì vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới bởi \(\frac{7}{4}\).

Lại có u_n bị chặn trên (do u_n < 2, ∀n ∈ ℕ^*).

Vậy (u_n) bị chặn.

Do đó ta chọn phương án C.