Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên ℝ, f (0) = 0, f '(0) ¹ 0 và thỏa mãn hệ thức f (x).f '(x) + 18x² = (3x² + x).f '(x) + (6x + 1).f (x), "x Î ℝ. Biết ∫232fx+2lnxdx=a+bln2+cln3 , với a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức P = 2a + 3b + c.

Đáp án đúng là: D

Ta có:

f (x).f '(x) + 18x² = (3x² + x).f '(x) + (6x + 1).f '(x) (1)

+) Xét phương trình f '(x) = 0

Khi đó phương trình (1) trở thành 18x² = 0 Û x = 0

Mà f '(0) ¹ 0 nên suy ra f '(x) ¹ 0 với mọi x

+) Với x = 0 thay vào (1) ta có

f '(0) = 0 (vô lí nên suy ra x = 0 không là nghiệm của phương trình)

Lấy nguyên hàm hai vế của phương trình (1) nên suy ra

1⇔∫fx.f'x+18x2dx=∫3x2+xf'x+6x+1fxdx

⇔∫fx.f'x+18x2dx=∫3x2+xf'x+3x2+x'fxdx

⇔12f2x+6x3=3x2+xfx+C (2)

Mà f (0) = 0 nên thay x = 0 vào (2) ta thấy

(2) Û C = 0

Vậy suy ra 12f2x+6x3=3x2+xfx

⇔f2x−23x2+xfx+12x3=0

⇔f2x−6x2.fx−2xfx+12x3=0

⇔fxfx−6x2−2xfx−6x2=0

⇔fx−2xfx−6x2=0⇒fx=2x  fx=6x2⇒f'x=2    f'x=12x

Mà do f '(0) ¹ 0 nên suy ra ta chọn f (x) = 2x

Khi đó

∫232fx+2lnxdx=∫234x+2lnxdx

Đặt u=lnx⇒du=1xdx                dv=4x+2dx⇒v=2x2+2x

Nên suy ra ∫234x+2lnxdx

=2x2+2xlnx23−∫232x+2dx

=2x2+2xlnx23−x2+2x23

= 24ln 3 - 12ln 2 - 15 + 8

= -7 - 12ln 2 + 24ln 3.

Mà ta biết ∫232fx+2lnxdx=a+bln2+cln3

Nên suy ra được a = -7, b = -12, c = 24

Khi đó: P = 2a + 3b + c

= 2.(-7) + 3.(-12) + 24 = -26.