Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC vuông tại C,  ABC^=60o,AB=32 đường thẳng AB có phương trình x−31=y−41=z+8−4, đường thẳng AC nằm trên mặt phẳng α:x+z−1=0. Biết B là điểm có hoành độ dương. Gọi (a; b; c) là tọa độ điểm C, giá trị của a + b + c bằng

Đáp án C

Ta có A là giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng α. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ x−31=y−41=z+8−4x+z−1=0⇔x=1y=2z=0. Vậy điểm A(1; 2; 0) 

Điểm B nằm trên đường thẳng AB nên điểm B có tọa độ

B3+t;4+t;−8−4t⇒AB→=t+2;t+2;−8−4t  

Theo giả thiết thì t+3>0⇔t>−3 

Do AB=32, ta có t+22+t+22+16t+22=18⇒t=−1 nên B(2; 3; -4) 

Theo giả thiết thì AC=ABsin60o=362;BC=AB.cos60o=322 

Ta có C∈αAC=362BC=322⇔a+c=1a−12+b−22+c2=272a−22+b−32+c+42=92 

⇔a+c=12a+2b−8c=9a−12+b−22+c2=272⇔a=72b=3c=−52.

Vậy C72;3;−52 nên a + b + c =4