Cho hàm số y=(2 m+1)x−6x+1 có đồ thị (C_m) và đường thẳng Δ:y=x−1. Giả sử Δ cắt Cm tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi M là trung điểm của AB và N là điểm thuộc đường tròn (C):(x+2)2+(y−3)2=2. Giá trị của m để tam giác OMN vuông cân tại O (O là gốc tọa độ) thuộc khoảng nào dưới đây?

Ta có phương trình hoành độ: (2m+1)x−6x+1=x−1⇔x2−(2m+1)x+5=0(1)x≠−1 

Để Cm và Δ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt <=> phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 khác . −1⇔(2m+1)2−20>02m+7≠0⇔m∈−∞;−12−5∪−12+5;+∞\−72 (*)

Khi đó Ax1;x1−1,Bx2;x2−1⇒Mx1+x22;x1+x2−22.

Theo Vi-ét thì x1+x2=2 m+1 suy ra M2 m+12;2 m−12.

Gọi N(x;y), tam giác OMN vuông cân tại O⇔N∈(C)OM→⋅ON→=0OM=ON⇔Qo;π2(M)=NQ0;−π2(M)=N.

Trường hơp 1: Q0;π2(M)=N⇔xN=−2m−12yN=2m+12, thay vào phương trình của (C) ta được

2−2m−122+2m+12−32=2⇔(2m−5)2=4⇔m=72m=32.

Trường hơp 2: Qo;−π2(M)=N⇔xN=2 m−12yN=−2 m+12, thay vào phương trình của (C) ta được

2m−12+22+2m+12+32=2⇔8m2+40m+50=0⇔m=−52.

Đối chiếu điều kiện (*) thấy m=72 thỏa mãn.