Cho hàm số fx nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên 0;2 . Biết f0=1 và fx.f2−x=e2x2−4x với mọi x∈0;2. Tính tích phân I=∫02x3−3x2.f'xfxdx.

Đáp án D

Từ giả thiết  fx.f2−x=e2x2−4x→x=2f2=1.

Ta có  I=∫02x3−3x2.f'xfxdx.

Đặt  u=x3−3x2dv=f'xfxdx⇒du=3x2−6xdxv=lnfx

Khi đó I=x3−3x2lnfx02−∫023x2−6xlnfxdx=f2=1−3∫02x2−2xlnfxdx=−3J

Ta có  J=∫02x2−2xlnfxdx=x=2−t∫202−t2−22−tlnf2−td2−t

 =∫202−x2−22−xlnf2−xd2−x=∫02x2−2xlnf2−xdx

Suy ra  2J=∫02x2−2xlnfxdx+∫02x2−2xlnf2−xdx

 =∫02x2−2xlnfx.f2−xdx

 =∫02x2−2xlne2x2−4xdx=∫02x2−2x2x2−4xdx=3215

 ⇒J=1615

Vậy  I=−3J=−165.