Cho hàm số y=2x+3x+2 có đồ thị (C) và đường thẳng d: y = -2x + m. Khi d cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt. Gọi k1,k2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A và B. Tìm m để P=k12020+k22020 đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương trình hoành độ giao điểm 2x+3x+2=−2x+m

⇔x≠−2(x+2)(2x−m)+2x+3=0⇔x≠−22x2−(m−6)x+3−2m=0

Đường thẳng d:y=−2x+m cắt (C) tại hai điểm phân biệt

<=>  phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác −2⇔Δ=(m−6)2−8(3−2m)>02⋅(−2)2−(m−6)⋅(−2)+3−2m≠0.

Khi đó xA,xB là 2 nghiệm phân biệt của (1)⇒xA+xB=m−62xAxB=3−2m2.

Ta có y'=1(x+2)2⇒k1=1xA+22,k2=1xB+22

⇒k1k2=12xA+xB+xAxB+42=1 m−6+3−2 m2+42=4⇒P=k12020+k22020≥2k12020k22020=242020

Dấu "=" xảy ra ⇔k1=k2>0⇔1xA+22=1xB+22⇔xA+2=xB+2xA+2=−xB+2.

Do A≠BA,B∈(C)⇒xA≠xB nên ⇔xA+xB=−4.