Trong tất cả các khối chóp tứ giác đều ngoại tiếp mặt cầu bán kính bằng a, thể tích V của khối chóp có thể tích nhỏ nhất là:

Phương pháp:

- Giả sử ta có khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Xác định tâm mặt cầu nội tiếp khối chóp S.ABCD.

- Đặt SO = x > a tính SI, SH theo x, a.

- Sử dụng ΔSIH∽ΔSMOg.g, tính OM theo x, a từ đó tính SABCD theo x, a.

- Tính VS.ABCD=13SO.SABCD theo x, a.

- Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTNN của VS.ABCD.

Cách giải:

Giả sử ta có khối chóp tứ giác đều S.ABCD.

Gọi O=AC∩BD⇒SO⊥ABCD.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC Trong (SMN) dựng tia phân giác của góc ∠SMN cắt SO tại I⇒I là tâm mặt cầu nội tiếp khối chóp S.ABCD.

Kẻ IH⊥SMH∈SM ta có r = IH = IO = a là bán kính mặt cầu nội tiếp khối chóp S.ABCD.

Đặt SO=x>a⇒SI=SO−IO=x−a

Áp dụng định lý Pytago ta có SH=SI2−IH2=x−a2−a2=x2−2ax.

Vì ΔSIH∽ΔSMOg.g⇒SHSO=IHOM⇒x2−2axx=aOM⇒OM=axx2−2ax

⇒AB=2OM=2axx2−2ax⇒SABCD=AB2=4a2x2x2−2ax

⇒VS.ABCD=13SO.SABCD=13x.4a2x2x2−2ax=4a23.x3x2−2ax.

Xét hàm số fx=x3x2−2axx>0 ta có

f'x=3x2.x2−2ax−x3.2x−2ax2−2ax2

f'x=3x4−6ax3−2x4+2ax3x2−2ax2

f'x=x4−4ax3x2−2ax2

f'x=0⇔x3x−4a=0⇔x=4atm

⇒mina;+∞fx=f4a=64a34a2−2a.4a=8a.

Vậy minVS.ABCD=4a23.8a=32a33, đạt được khi SO = 4a.

Chọn D.