Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(7;2;3), B(1;4;3), C(1;2;6), D(1;2;3) và điểm M tùy ý. Tính độ dài đoạn OM khi biểu thức P = MA + MB + MC + 3MD đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có DA→=(6;0;0),DB→=(0;2;0),DC→=(0;0;3) nên tứ diện ABCD là tứ diện vuông đỉnh D.

Giả sử M(x+1;y+2;z+3).

Ta có MA=(x−6)2+y2+z2≥|x−6|≥6−x,MB=x2+(y−2)2+z2≥|y−2|≥2−y.

MC=x2+y2+(z−3)2≥|z−3|≥3−z,3MD=3x2+y2+z2≥(x+y+z)2≥x+y+z.

Do đó P≥(6−x)+(2−y)+(3−z)+(x+y+z)=11.

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 11, khi và chỉ khi x=y=z=06−x≥02−y≥03−z≥0x+y+z≥0⇔x=y=z=0.