Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y=x3−2x2+(m+2)x+5 trên đoạn [-1;2] không vượt quá 11 ?

Xét hàm số g(x)=x3−2x2+(m+2)x+5 trên đoạn [-1;2].

⇒g'(x)=3x2−4x+m+2 Δ'=22−3( m+2)=−(3 m+2)<0 với mọi m dương.

⇒g'(x)>0,∀x∈ℝ. Vậy hàm số g(x)=x3−2x2+(m+2)x+5 luôn đồng biến trên [-1;2].

Suy ra Max[−1;2]g(x)=g(2)=2 m+9;Min[−1;2]g(x)=g(−1)=−m.

Tính y(−1)=my(2)=2 m+9. Khi đó Max[−1;2]y={m;2 m+9}.

TH1. Nếu |2 m+9|<|m|⇔(2 m+9)2<(m)2⇔(m+9)(3 m+9)<0⇔−9

TH2. Nếu |m|≤|2 m+9|⇔(m)2≤(2 m+9)2⇔(−3 m−9)(m+9)≤0⇔m≤−9 m≥−3

⇒Max[−1;2]f(x)=|2 m+9|≤11⇔−11≤2 m+9≤11⇔−10≤m≤1