Xét tam giác ABD có:
E là trung điểm của AB (gt)
M là trung điệm của AD (gt)
=> EM là đường trung bình của tam giác ABD 
=> EM = 1/2BD (TC đường trung bình của tam giác)
Mà AC = BD (ABCD là hình thang cân)
=> EM =  1/2AC 
Xét tam giác ADC có:
M là trung điểm của AD (gt)
G là trung điệm của CD (gt)
=> MG là đường trung bình của tam giác ADC 
=> MG // AC và MG = 1212AC (TC đường trung bình của tam giác)  (1)
Xét tam giác ABC có:
E là trung điểm của AB (gt)
N là trung điệm của BC (gt)
=> EN là đường trung bình của tam giác ABC
=> EN // AC và EN = 1/2AC (TC đường trung bình của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) =>  MG // EN // AC và MG = EN = 1/2AC
Mà EM =  1/2AC (cmt) => EM = MG = EN = 1/2AC
Xét tứ giác MENG: 
MG // EN (cmt)
MG = EN (cmt)
=> MENG là hình bình hành (dhnb)
mà EM = MG (cmt)
=> MENG là hình thoi (dhnb)