Chứng minh công thức khai triển Abel

----- Nội dung dịch tự động từ ảnh -----
Viettel
20:44
49%
Xong ĐỀ THI THỬ KHẢO SÁT MÔN CHU...
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ THI THỦ KHẢO MÔN CHUYÊN LÀN
TRƯỜNG THPT CHUYỂN VĨNH PHÚC
2 NĂM HỌC 2021 - 2022
LỚP 10A1+10A2, NGÀY THI 21/1/2022
Thời gian làm bài: 100 phút
Bài 1 (4,0 điểm)
a) Chứng minh công thức khải triển Abel: cho hai dãy số ,., và
Khi
đó
x,V; + X,V; +...+ X„V, = (x – x2 ) y, +(x, - x, )(y; + Y2 )+...+(x,1 – x, )(v + Y2 +...+ yp-1)
+x, (y, + y, +
.. + y, )
b) Cho số nguyên dương
n và các số thực 4,ªz……., và l2b, z b, z...b, 2 0.
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương ke{1.2.n} E-|- E-|
c) Cho số nguyên dương " và n số thực 4 = a, .. a, > 0 . Cho các số thực
dương
a,b, + a,b, +...+ a
Eab s
sao cho
b,b,.b,
rằng
Chứng
b, +b, +.. +b, )
minh
,b,
s max
1
а, +а, +...+ а,
2
n
đối
Bài 2 (8,5 điểm). Cho tam giác ABC nhọn và các đường
tam giác ABC đồng quy tại điểm L. Gọi M là trung điểm của BC. Đường
thăng đi qua L song song với cạnh BC cắt các cạnh 4C,AB lần lượt tại
B,,C; đường thăng đi qua L song song với cạnh 4C cắt các cạnh BC, AB lần
lượt tại 4.C ; đường thăng đi qua L song song với cạnh AB cắt các cạnh
AC,BC lần lượt tại B.»4 .
a) Chứng minh minh rằng nếu h là chân đường cao kẻ từ 4 của tam giác
ABC thì đường thẳng LM đi qua trung điểm của đoạn thắng AH .
b) Chứng minh rằng các điểm 4,4, B,B,,C,C, cùng nằm trên đường tròn
có tâm là trung điểm của đoạn thắng nối L và tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC.
Bài 3 (7,5 điểm)
a) Các số nguyên dương 42...100 được viết lên bảng, mỗi số viết đúng
một lần. Mỗi lần thay số, ta chọn hai số 4,b trên bảng và xóa chúng đi,
khi đó viết ước chung lớn nhất của hai số a² + b² +2 _và a²b²+3. Sau một số
bước thay số, trên bảng còn lại đúng một số nguyên dương. Chứng minh
rằng số này không thể là số chính phương.
b) Xét một cách xếp "(uED) viên bi trên mặt phẳng, không cần thiết đặt
bi tại các điểm phân biệt. Ta xét cách chuyển bi như sau: chọn một cặp
bi ở hai điểm A và B và di chuyển hai bi này về trung điểm của đoạn
thẳng AB. Ta gọi một cách sắp xếp - viên bi là “tốt" nếu ta có thể đưa
tất cả n viên bị này về cùng một điểm sau một số hữu hạn bước chuyển
bi như trên. Chứng minh rằng mọi cách xếp " viên bi là “tốt" khi và chỉ
khi - là lũy thừa của 2.
trung của