Ta có:

ˆMDC=90°MDC^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)(O))

⇒ˆBDC=90°⇒BDC^=90°

ΔABC∆ABC vuông tại AA

⇒ˆBAC=90°⇒BAC^=90°

⇒ˆBDC+ˆBAC=180°⇒BDC^+BAC^=180°

⇒⇒Tứ giác ABCDABCD nội tiếp (đpcm)

⇒ˆADB=ˆACB⇒ADB^=ACB^ (1)(1) (cùng chắn cung ABAB)

Tứ giác CDMKCDMK nội tiếp (O)(O)

⇒ˆMCK=ˆMDK⇒MCK^=MDK^ (cùng chắn cung MKMK)

⇒ˆACB=ˆBDK⇒ACB^=BDK^ (2)(2)

Từ (1);(2)⇒ˆADB=ˆBDK(1);(2)⇒ADB^=BDK^

⇒DB⇒DB là phân giác của ˆADKADK^ (đpcm)

b)b) Gọi HH là giao điểm của ABAB và CDCD

ˆBAC=90°BAC^=90°

⇒AC⇒AC⊥BA⊥BA 

⇒AC⇒AC⊥BH⊥BH

ˆMDC=90°MDC^=90° (đã c/m)

⇒MD⇒MD⊥DC⊥DC

⇒BD⇒BD⊥HC⊥HC

⇒AC⇒AC và BDBD là hai đường cao của ΔBCH∆BCH

Mà ACAC và BDBD cắt nhau tại MM

⇒M⇒M là trực tâm ΔBCH∆BCH

⇒HM⇒HM⊥BC⊥BC (4)(4)

Ta có: ˆMKC=90°MKC^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)(O))

⇒MK⇒MK⊥KC⊥KC

⇒MK⇒MK⊥BC⊥BC (4)(4)

Từ (3);(4)⇒H;M;K(3);(4)⇒H;M;K thẳng hàng

⇒AB;KM;CD⇒AB;KM;CD đồng quy tại điểm HH (đpcm)

c)c) DBDB là phân giác của ˆADKADK^ (câu a)

⇒DM⇒DM là phân giác của ˆADEADE^

⇒AMEM=DADE⇒AMEM=DADE (5)(5)

Vì MDMD⊥DC⊥DC (đã c/m)

⇒DC⇒DC là phân giác ngoài của ˆADEADE^ (phân giác trong và ngoài của một góc thì vuông góc với nhau)

⇒ACCE=DADE⇒ACCE=DADE (6)(6)

Từ (5);(6)⇒AMEM=ACCE(5);(6)⇒AMEM=ACCE 

⇒AM.CE=AC.EM⇒AM.CE=AC.EM (đpcm)