Ta có: AB=AC và BD=CE⇒AB+BD=AC+CEBD=CE⇒AB+BD=AC+CE hay AD=AEAD=AE

⇒ΔADE⇒ΔADE cân đỉnh A⇒ˆADE=180o−ˆA2A⇒ADE^=180o−A^2

⇒ˆABC=ˆADE⇒ABC^=ADE^ (=180o−ˆA2)(=180o−A^2) (ĐV) nên BC//DEBC//DE (đpcm)

b) Ta có: ˆMBD=ˆABCMBD^=ABC^ (đối đỉnh) và ˆNCE=ˆACBNCE^=ACB^ (đối đỉnh)

Mà ˆABC=ˆACBABC^=ACB^

⇒ˆMBD=ˆNCE⇒MBD^=NCE^

Xét ΔΔ vuông MBDMBD và ΔΔ vuông NCENCE có:

BD=CEBD=CE (giả thiết)

ˆMBD=ˆNCEMBD^=NCE^ (cmt)

⇒ΔMBD=ΔNCE⇒ΔMBD=ΔNCE (ch-gn)

⇒DM=EN⇒DM=EN (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

c) ΔMBD=ΔNCE⇒MB=NCΔMBD=ΔNCE⇒MB=NC (hai cạnh tương ứng)

Xét ΔABMΔABM và ΔACNΔACN có:

AB=ACAB=AC

ˆABM=ˆACNABM^=ACN^ (do cộng với hai góc bằng nhau ˆABC=ˆACBABC^=ACB^ ra 180^o)

MB=NC (cmt)

⇒ΔABM=ΔACN⇒ΔABM=ΔACN (c.g.c)

⇒AM=AN⇒AM=AN (hai cạnh tương ứng)

⇒ΔAMN⇒ΔAMN cân tại A

a) ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC; ∠ABC = ∠ACB

    ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180độ

⇒ ∠BAC + 2 . ∠ABC = 180độ 
⇒      ∠ABC = 180độ −∠BAC / 2 (1)
 

Ta có: AB = AC (cmt); BD = CE (gt)

⇒ AB + BD = AC + CE

⇒    AD  = AE     

⇒ ΔADE cân tại A  ⇒ ∠ADE = ∠AED

    ∠DAE + ∠ADE + ∠AED = 180độ

⇒ ∠DAE + 2 . ∠ADE = 180độ

⇒      ∠ADE  = 180độ − ∠DAE / 2 (2)
 

ừ (1) và (2) ⇒ ∠ABC = ∠ADE

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị  ⇒ DE // BC

b) Ta có: ∠DBM = ∠ABC (2 góc đối đỉnh)

              ∠ECN = ∠ACB (2 góc đối đỉnh)

mà ∠ABC = ∠ACB (theo a) ⇒ ∠DBM = ∠ECN

Xét ΔDMB và ΔENC có:

        ∠DMB = ∠ENC = 90o

         BD = CE (gt)

         ∠DBM = ∠ECN (cmt)

⇒ ΔDMB = ΔENC (cạnh huyền-góc nhọn)

⇒ DM = EN (2 cạnh tương ứng)

c) Ta có: ∠ABM + ∠ABC = 180o (2 góc kề bù)

              ∠ACN + ∠ACB = 180o (2 góc kề bù)

mà ∠ABC = ∠ACB (theo a) ⇒ ∠ABM = ∠ACN

Ta có: ΔDMB = ΔENC (theo b)

⇒ BM = CN (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔABM và ΔACN có:

       AB = AC (theo a)

      ∠ABM = ∠ACN (cmt)

       BM = CN (cmt)

⇒ ΔABM = ΔACN (2 cạnh tương ứng)

⇒ ΔAMN cân tại A