a) Gọi tia phân giác của ∠BAC cắt DE tại K

Vì AK ⊥ DE ( gt )

=> △ ADK vuông tại K và △ AEK vuông tại K

Xét tam giác vuông ADK và tam giác vuông AEK có:

AK chung

∠ A1 = ∠ A2 ( AK là tia phân giác của ∠ BAC )

=> △ ADK = △ AEK (g.c.g )

=> AD = AE ( 2 cạnh tương ứng )

=> △ ADE cân tại A

Vì BF // AC ( gt )

=> ∠ BFD = ∠AEF ( 2 góc đồng vị ) ( 1 )

Ta có ∠ D = ∠AEF ( △ ADE cân tại A ) ( 2 )

Từ (1) và (2) => ∠ BFD = ∠D

=> △ BDF cân tại B

b) Vì BF // AC ( gt )

=> ∠ MBF = ∠ ECM ( 2 góc so le trong )

Xét tam giác BMF và tam giác EMC có:

∠MBF = ∠ECM ( cmt )

MB = MC ( M là t/ đ BC )

∠ BMF = ∠ EMC ( 2 góc đối đỉnh )

=> △ BMF = △ EMC ( g.c.g )

=> MF = ME ( 2 cạnh tương ứng )

Mà M nằm giữa 2 điểm F và E

=> M là t/đ của EF.

c) Trên tia CA lấy I sao cho IE = IC

Mà CE = BD ( △ BMF = △ EMC )

=> CE = EI = BD

=> IC = EI = BD + BD = 2BD

AC - AI = IC = 2BD

AB = AD - BD

AI = AE - IC

Mà AD = AE ( △ ADE cân tại A )

Và BD = IE ( cmt )

=> AB = AI

Mà AC - AI = AB

=> AC - AB = 2BD.