Gọi H là trung điểm đoạn AB. Ta có vì H là trung điểm dây cung AB nên:

—► OH ⊥ MH  (tính chất dây cung)

  Vì MC và MD là 2 tiếp tuyến kẽ từ M

—► OC ⊥ MC  (tính chất tiếp tuyến)

và  OD ⊥ MD  (tính chất tiếp tuyến)

—► 3 điểm H, C, D cùng nhìn đoạn thẳng AO dưới 1 góc 90° nên H, C, D cùng nằm trên đường tròn đường kính MO hay nói cách khác 5 điểm M, C, H, O, D cùng thuộc một đường tròn

   Do 5 điểm M, C, H, O, D cùng thuộc một đường tròn

—► ∠MCD = ∠MHD (cùng chắn MD)

   Do AK // MC theo giả thiết

—► ∠MCD = ∠AKD (góc đồng vị)

—►   ∠AHD = ∠MHD = ∠AKD

—► 2 điểm H, K kề nhau cùng nhìn đoạn AD dưới một góc bằng nhau

—► tứ giác ADHK nội tiếp được 

—► ∠ADK = ∠AHK (cùng chắn AK)

hay  ∠ADC = ∠AHK                 (1)

  Gọi giao điểm của AK và BC là I

  Xét (O) có:

∠ADC = ∠ABC (cùng chắn AC)     (2)

Từ (1) và (2) —►  ∠AHK = ∠ABC

   Hai góc này ở vị trí đồng vị do AB cắt HK và BC —► HK // BC —► HK // BI

  Mặt khác vì H là trung điểm AB nên HK là đường trung bình Δ ABI

—► K là trung điểm của AI

hay là: AI/AK = 2             (3)

  Xét Δ BMC có: AI // MC     (gt)

—► AI/MC=BA/BM (hệ quả đ/lý Talet)

  Xét Δ BMN có: AK // MN   (do AI // MC)

—►AK/MN=BA/BM (hệ quả đ/lý Talet)

—► AI/MC=AK/MN (tính chất bắt cầu)

—► AI/AK=MC/MN               (4)

  Từ (3) và (4) —►  MC/MN = 2

  Hay N là trung điểm của MC