Xét tam giác ABC có: BC^2 = AB^2+AC^2 (Định lý Pitago)
Thay vào: 10^2 = 6^2 + 8^2
100 = 36 + 64
=> Tam giác ABC vuông

a) Ta có AB = 6(cm) (gt); AC = 8(cm) (gt) nên

AB2 + AC2 = 62 + 82 =100 (cm) (1)

Mà BC = 10(cm) (gt) nên BC2 = 102 = 100 (cm) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB2 + AC2 = BC2

Xét tam giác ABC có AB2 + AC2 = BC2(chứng minh trên) nên tam giác ABC vuông tại A (Định lí Pytago đảo).                   (1 điểm)

b) Vì BD là phân giác của góc ABC; DA, DE lần lượt là khoảng cách từ D đến AB, BC

Suy ra DA = DE (tính chất tia phân giác của một góc)      (1 điểm)

c) Tam giác ADF vuông tại A nên DF > AD

Lại có AD = DE (chứng minh trên) nên DF > DE             (0,5 điểm)

d) Ta có: (tam giác ABD vuông tại A)

(tam giác EBD vuông tại E)

Mà (BD là tia phân giác của góc ABC)

Do đó:

Lại có  (hai góc đối đỉnh)

Suy ra

Xét tam giác BDF và tam giác BDC có:

BD cạnh chung

(BD là tia phân giác của góc ABC)

(chứng minh trên)

Do đó:  (g.c.g)

 BF = BC suy ra B thuộc đường trung trực FC (3)

Và DF = DC suy ra D thuộc đường trung trực FC (4)

Từ (3) và (4) suy ra BD là đường trung trực của FC.