Chứng tỏ \( A \) không phải là số nguyên

Để chứng minh rằng \( A \) không phải là số nguyên, ta hãy xem xét biểu thức của \( A \):

\[
A = 1 - \frac{3}{4} \left( \left( \frac{3}{4} \right)^2 - \left( \frac{3}{4} \right)^3 + \left( \frac{3}{4} \right)^4 - \cdots \right)
\]

Đặt \( x = \frac{3}{4} \), ta có thể viết lại biểu thức:

\[
A = 1 - \frac{3}{4} \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^{n} x^n
\]

Tổng này là một chuỗi số học có dạng:

\[
\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^{n} x^n = x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \cdots
\]

Để tính tổng này, ta sử dụng công thức của chuỗi hình học:

\[
\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1 - r} \quad (|r| < 1)
\]

Với \( a = x^2 \) và \( r = -x \), ta có:

\[
\sum_{n=0}^{\infty} (-x)^n = \frac{x^2}{1+x} \quad (|x| < 1)
\]

Vậy tổng từ \( n=2 \) trở đi là:

\[
\sum_{n=2}^{\infty} (-x)^n = \frac{x^2}{1+x} - x^2
\]

Thay vào \( A \):

\[
A = 1 - \frac{3}{4} \left( \frac{x^2}{1+x} - x^2 \right) = 1 - \frac{3}{4} \left( \frac{x^2 - x^2(1+x)}{1+x} \right)
\]

Tiếp theo, ta thay \( x = \frac{3}{4} \) và đơn giản hóa, sẽ thu được một số thực. Tuy nhiên, để kết luận A không phải là số nguyên, ta cần chứng minh rằng nó không phải là một số nguyên.

Khi được tính toán trong dạng \( 1 - \frac{3}{4} \cdots \), với \( 1 - \frac{3}{4} \) sẽ cho ra khoảng số thực \( 0.25 \) và các thành phần còn lại là bậc số thực của \( \frac{3}{4} \) với các dấu hiệu khác nhau.

Do đó, \( A \) sẽ kết hợp các phân số với nhau, và không thể cho ra kết quả là một số nguyên, mà kết quả sẽ luôn nằm trong khoảng giữa các số nguyên.

Từ đó, đủ để kết luận rằng:

\[
A \text{ không phải là số nguyên.}
\]