ΔABCΔABC có G là trọng tâm và các đường trung tuyến AM,BN,CP nên theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có:

AG=23AM;BG=23BN;CG=23CPAG=23AM;BG=23BN;CG=23CP

Vì G là trung điểm của AD nên GD=AGGD=AG mà AG=23AMAG=23AM (cmt), do đó GD=23AMGD=23AM

Ta có: GD=AG=2GMGD=AG=2GM (tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

Mà GD=GM+MD⇒2GM=GM+MD⇒GM=MDGD=GM+MD⇒2GM=GM+MD⇒GM=MD

Xét ΔBMDΔBMD và ΔCMGΔCMG có:

GM=MDGM=MD

ˆBMD=ˆCMGBMD^=CMG^ (hai góc đối đỉnh)

BM=MCBM=MC (vì AM là đường trung tuyến của ΔABCΔABC)

⇒ΔBMD=ΔCMG(c.g.c)⇒ΔBMD=ΔCMG(c.g.c)

⇒BD=CG⇒BD=CG (hai cạnh tương ứng) mà CG=23CP(cmt)CG=23CP(cmt) nên BD=23CP(cmt)BD=23CP(cmt)

Vậy BG=23BN;GD=23AM;BD=23CP