​a) Ta có D, E là hình chiếu của M trên AB, AC
=> DM ⊥ AB và ME ⊥ AC Mà AB ⊥ AC
=> ADME là hình chữ nhật

b) Xét ΔABC có:
M là trung điểm BC và ME // AB (ADME là hình chữ nhật) => ME là đường trung bình của ΔABC => E là trung điểm AC
M là trung điểm BC và MD // AC (ADME là hình chữ nhật) => MD là đường trung bình của ΔABC => D là trung điểm AB
Ta có: E là trung điểm AC, D là trung điểm AB
=> DE là đường trung bình của ΔABC
=> DE = 1/2 BC

c) Xét ΔBAM có D, P lần lượt là trung điểm của AB và BM => DP là đường trung bình của ΔBAM
=> DP // AM (1)
Chứng minh tương tự với ΔAMC => EQ // AM (2)
Từ (1) và (2) => DP // EQ Mà DE // PQ (cmt)
=> DPQE là hình bình hành
Gọi O là tâm đối xứng của DPQE (là giao điểm 2 đường chéo)
Ta có P, Q là trung điểm của BM và MC và M là trung điểm BC
=> M là trung điểm PQ
Xét hình bình hành DPQE có AM // DP và M là trung điểm PQ
=> AM là đường trung bình của DPQE => AM đi qua trung điểm DE, gọi điểm đó là F
Từ đó AM là trục đối xứng của DPQE tức là đi qua O.

d) Để DPQE là hình chữ nhật thì 4 góc của hình phải = 90 độ
Ta xét ΔBAM nếu DP⊥BM thì AM⊥BM
Xét ΔABC có AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao
=> ΔABC vuông cân tại A <=> AB = AC