a)

Gọi H là giao điểm của OC và AB

Xét đường tròn (O) có

OH ⊥ AB tại H mà OH là 1 phần của đường kính và AB là dây của đường tròn

Do đó, H là trung điểm của AB (do đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

=> HA = HB = 1212AB

Mà ta lại có: OC ⊥ AB tại H, do đó, OC là đường trung trực của AB

=> CB = CA (tính chất đường trung trực)

Xét tam giác CBO và tam giác CAO có:

CO chung

CA = CB (chứng minh trên)
 

OB = OA = R (do B, A nằm trên đường tròn (O))

Do đó, tam giác CBO và tam giác CAO bằng nhau theo trường hợp cạnh cạnh cạnh.

=> ˆCBO=ˆCAOCBO^=CAO^

Vì AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên có:

AC ⊥ OA => ˆCAO=90o⇒ˆCBO=ˆCAO=90o
CAO^=90o⇒CBO^=CAO^=90o

Tức là CB vuông góc với OB, mà OB là bán kính của đường tròn (O)

Do đó, CB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B.
 

b)

Ta có: OA = OB = R = 15cm

HA = AB2=242AB2=242 = 12 (cm) (chứng minh phần a)

Xét tam giác HOA vuông tại H (do OC ⊥ AB tại H)

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

OA2 = OH2 + HA2

=> OH2 = OA2 - HA2 = 152 - 122 = 81

=> OH = √8181 = 9 (cm)
 

Xét tam giác BOC vuông tại B (do CB vuông góc với OB tại B – chứng minh phần a) có đường cao BH.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

OB2 = OC.OH => OC = OB^2/OH=15^2/9= 25(cm).