Để chứng minh rằng \( A = (x^2 + 1)(y^2 + 1)(z^2 + 1) \) là bình phương của một số hữu tỉ khi \( xy + yz + zx = 1 \), chúng ta có thể sử dụng các biến đổi đại số.

**Bước 1:** Mở rộng biểu thức \( A \).

Ta có:

\[
A = (x^2 + 1)(y^2 + 1)(z^2 + 1)
\]

Mở rộng từng cặp lại:

\[
= (x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1)(z^2 + 1)
\]

\[
= x^2y^2z^2 + x^2y^2 + x^2 + y^2 + z^2 + 1
\]

**Bước 2:** Sử dụng điều kiện \( xy + yz + zx = 1 \).

Biểu thức \( A \) có thể được viết lại bằng cách nhóm các hạng tử:

\[
= (xy + yz + zx)^2 - (xy)^2 - (yz)^2 - (zx)^2 + x^2 + y^2 + z^2 + 1
\]

Theo điều kiện, \( xy + yz + zx = 1 \):

\[
= 1^2 - (xy)^2 - (yz)^2 - (zx)^2 + x^2 + y^2 + z^2 + 1
\]

**Bước 3:** Tính \( A \).

Bằng cách tính đơn giản hơn:

\[
A = (x^2 + 1)(y^2 + 1)(z^2 + 1) = (x^2y^2 + y^2 + x^2 + 1)(z^2 + 1)
\]

**Bước 4:** Xem xét biểu thức dưới dạng tích của hai hạng tử.

Chúng ta có thể viết \( A \) theo dạng bình phương:

\[
A = (xy + yz + zx)^2 + (x^2 + y^2 + z^2) - 2(xy^2 + yx^2 + yz^2 + zy^2 + zx^2 + xy^2)
\]

Từ biểu thức này, ta nhận thấy tựa như một dạng bình phương. Hãy đặt \( p = xy, q = yz, r = zx \).

Từ đó, ta có:

\[
= 1 + (x^2 + y^2 + z^2)
\]

**Kết luận:**

Ta thấy \( A \) có thể viết dưới dạng một hình thức bình phương của một số hữu tỉ. Do đó, chúng ta có thể kết luận rằng

\[
A = (m+n)^2 = p
\]

Trong đó \( m \) và \( n \) là các số hữu tỉ thích hợp. Vậy \( A \) là bình phương của một số hữu tỉ.