a.Ta có ABAB là đường kính của (O)→AC⊥BC(O)→AC⊥BC

Mà ^A=60oA^=60o

→ΔABC→ΔABC là nửa tam giác đều cạnh AB=8AB=8

→AC=12AB=4,BC=AC√3=4√3→AC=12AB=4,BC=AC3=43

b.Ta có DCDC là tiếp tuyến của (O)(O)

→ˆDCB=ˆCAB=60o→DCB^=CAB^=60o

Mà BD⊥CD→ΔBCDBD⊥CD→ΔBCD là nửa tam giác đều cạnh BCBC

→BC=2CD→BC=2CD

Ta có OC⊥DEOC⊥DE vì DEDE là tiếp tuyến của (O)(O)

→AE//OC//BD→AE//OC//BD

Mà OO là trung điểm ABAB

→OC→OC là đường trung bình hình thang ABDEABDE

→C→C là trung điểm DEDE

→DE=2CD=BC→DE=2CD=BC

c. Ta có: DE=BC=4√3,ˆEAC=ˆACO=ˆOAC=60oDE=BC=43,EAC^=ACO^=OAC^=60o

Mà AE⊥CE→ΔACEAE⊥CE→ΔACE là nửa tam giác đều cạnh ACAC

Ta có: OCOC là đường trung bình hình thang ABDE→AE+BD2=OC=4ABDE→AE+BD2=OC=4

Vì AE⊥DE,BD⊥DE→ABDEAE⊥DE,BD⊥DE→ABDE là hình thang vuông tại D,ED,E

→SABDE=12DE⋅(AE+BD)=DE⋅AE+BD2=4√3⋅4=16√3→SABDE=12DE⋅(AE+BD)=DE⋅AE+BD2=43⋅4=163

d.Gọi BD∩AC=FBD∩AC=F

Ta có: ˆCBF=ˆCBD=90o−ˆDCB=30o=90o−ˆCAB=ˆCBACBF^=CBD^=90o−DCB^=30o=90o−CAB^=CBA^

→BC→BC là phân giác ˆABFABF^

Mà BC⊥AC→BC⊥AFBC⊥AC→BC⊥AF

→ΔBAF→ΔBAF cân tại BB

Do ^A=60o→ΔABFA^=60o→ΔABF đều

→AF=AB=BF→AF=AB=BF

Ta có: AE//BD(⊥DE)AE//BD(⊥DE)

→AKKF=AEBF→AKKF=AEBF

→AKAK+KF=AEAE+BF→AKAK+KF=AEAE+BF

→AKAF=12AC12AC+AB→AKAF=12AC12AC+AB

→AKAB=12⋅12AB12⋅12AB+AB→AKAB=12⋅12AB12⋅12AB+AB

→AKAB=14AB54AB→AKAB=14AB54AB

→AKAB=15→AKAB=15

→AK=15AB→AK=15AB

→ABAK=5→ABAK=5

Ta có AE=12AC=12⋅12AB=14ABAE=12AC=12⋅12AB=14AB

→ABAE=4→ABAE=4

Vì 5=1+45=1+4

→ABAK=ABAB+ABAE→ABAK=ABAB+ABAE

→1AK=1AB+1AE→1AK=1AB+1AE

→đpcm