1.
Xét tứ giác  ADHE có:
∠BAC=∠ADH=∠AEH=90° (giả thiết)∠BAC=∠ADH=∠AEH=90° (giả thiết)

⇒Tứ giác ADHE là hình chữ nhật⇒Tứ giác ADHE là hình chữ nhật

=> DE = AH (đpcm)

2.
ΔECH vuông tại  E
=> EQ = HQ = HC2HC2 (1)

Có tứ giác ADHE là hình chữ nhật ( suy ra từ a)

=> OH = OE = OD (2)

Xét ΔQEO và ΔQHO có :

HQ = EQ [ từ (1)]

OH = OE (từ (2)]

OQ cạnh  chung

=> ΔQEO = ΔQHO ( c.c.c )

⇒∠OHQ=∠OEQ⇒∠OHQ=∠OEQ ( hai góc tương ứng)
mà ∠OHQ=90°∠OHQ=90°
⇒∠OEQ=90°⇒EQ⊥DE (3)⇒∠OEQ=90°⇒EQ⊥DE (3)

Chứng minh tương tự  , được ΔDPO = ΔHPO ( c.c.c )
=> PD ⊥ DE (4)

Có:  EQ⊥DE [ từ (3)]
       PD⊥DE [ từ (4)]
 => EQ // PD
=> Tứ giác  DEQP là hình thang

mà ∠PDE=90°∠PDE=90° [ từ (4)]
 => Tứ giác  DEQP là hình thang cân
3.
Ta chứng minh  được QO là đường trung bình ΔAHC

=> QO // AC mà AC ⊥ AB
=> QO ⊥ AB

=> QO là đường cao ΔABQ tại đỉnh B

ΔABQ có AH , QO lần lượt là đường cao của BQ và AB

mà AH∩QO tại OAH∩QO tại O

=> O là trực tâm ΔABQ