1.4+2.7+3.10+...+n(3n+1)=n(n+1)^2 (1)
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp:
Với n=1 ta có:
1.4=1.(1+1)^2 (đúng)
Giả sử (1) đúng với n=k≥1 (k∈N)
Khi đó 1.4+2.7+3.10+...+k(3k+1)=k(k+1)^2
Cần chứng minh (1) đúng với n=k+1
Tức là chứng minh:
1.4+2.7+3.10+...+k(3k+1)+(k+1).[3(k+1)+1]=(k+1)(k+1+1)^2=(k+1)(k+2)^2
Thật vậy, ta có:
1.4+2.7+3.10+...+k(3k+1)+(k+1).[3(k+1)+1]
=k(k+1)^2+(k+1)(3k+4)
=(k+1).[k(k+1)+3k+4]
=(k+1).(k^2+4k+4)
=(k+1)(k+2)^2
=>(1) đúng với n=k+1
Vậy (1) đúng với mọi số nguyên dương n