a)

MI⊥AB⇒ˆAIM=90o��⊥��⇒���^=90�

MK⊥AC⇒ˆMKA=90o��⊥��⇒���^=90�

Xét tứ giác AIMK���� có:

ˆAIM+ˆMKA=90o+90o=180o���^+���^=90�+90�=180�mà hai góc này ở vị trí đối đỉnh.

Suy ra tứ giác AIMK���� nội tiếp đường tròn đường kính (AM)(��)

b)

Xét tứ giác KMPC���� ta có:

ˆMPC=90o���^=90� (MP⊥BC)

ˆMKC=90o���^=90� (MK⊥AC)

⇒ˆMPC+ˆMKC=180o⇒���^+���^=180� mà 2 góc này ở vị trí đối nhau

⇒⇒ tứ giác KMPC���� nội tiếp nội tiếp đường tròn đường kính (MC)(��)

⇒ˆMPK=ˆMCK⇒���^=���^ (1) (2 góc nội tiếp cùng chắng cung MK của tứ giác KMPC)

ˆMCK=ˆMBC���^=���^ (2) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắng cung CM của (O))

Từ (1) và (2) ⇒ ˆMPK=ˆMBC���^=���^ (đpcm) (3)

c)

Xét tứ giác PBMI���� ta có:

ˆBPM=90o���^=90� (MP⊥BC)

ˆBIM=90o���^=90� (MI⊥BA)

⇒ˆBPM+ˆBIM=180o⇒���^+���^=180� mà 2 góc này ở vị trí đối nhau

⇒⇒ tứ giác PBMI���� là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính (BM)(��)

⇒ˆMIP=ˆMBC⇒���^=���^ (4) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MP của tứ giác PBMI)

Từ (3) và (4) ⇒ˆMIP=ˆMPK⇒���^=���^ (*)

Ta có:

ˆPMI+ˆPBI=180o���^+���^=180�

ˆPMK+ˆPCK=180o���^+���^=180�

mà ˆABC=ˆACB���^=���^

Từ ba điều trên suy ra ˆPMK=ˆPMI���^=���^ (**)

Xét ΔMIP và ΔMPK ta có:

ˆPMK=ˆPMI���^=���^ (chứng minh từ (**))

ˆMIP=ˆMPK���^=���^ (chứng minh từ (*))

⇒ΔMIP∼ΔMPK⇒Δ���∼Δ���

⇔MIMP=MPMK⇔����=���� (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇔MP2=MI.MK⇔��2=��.��

⇒MI.MK.MP=MP3⇒��.��.��=��3

⇒MI.MK.MP⇒��.��.�� lớn nhất ⇔⇔ MP�� lớn nhất

DựngOD⊥BC,MO∩BC=E⇒OD��⊥��,��∩��=�⇒��cố định

⇒MP≤ME⇒��≤��

⇒OD≤OE⇒��≤��

⇒MP+OD≤ME+OE=MO⇒��+��≤��+��=��

⇒MP≤MO−OD=R−OD⇒MP⇒��≤��−��=�−��⇒��lớn nhất khi MP=R−OD��=�−��

⇒M⇒� nằm chính giữa cung nhỏ BC��.